【知识点】牛顿和莱布尼茨的区别，值得收藏！

牛顿和莱布尼茨在创建微积分时使用了无穷小的方法，但由于无穷小的概念不明确，微积分的理论基础并不严格。后来，Cauchy、Weylstras 等人用极限法代替了无穷小法，使微积分的理论基础更加严格。1920年代和1930年代，随着数理逻辑的快速发展，推动了其他学科的发展，出现了一些新思想、新方法、新学科，如递归论、模型论等。1961年，美国数理逻辑学家罗宾逊用数理逻辑法和无穷小法刻画了微积分的理论基础，使微积分理论不需要使用极限法就有了坚实的基础。罗宾逊创立的理论称为非标准分析，也称为现代分析。该理论得到了一些数学家的改进和推广，变得更加简化和公理化。一个典型的例子是美国数学家纳尔逊在1976年创立的集合论。在经典的策梅洛公理系统和选择公理（ZFC-Zermelo，Fraenkel Choice）的基础上，增加了纳尔逊的非标准。IST的三个原则是理想化原则、标准化原则和变换原则，统称为IST。在此基础上建立的非标准分析包括数学分析、微分（微分）方程、微分几何、拓扑学等。有一系列的应用，尤其是非标准拓扑学和非标准测度论，

ZFC 1. 空集公理 对于任何 y，存在一个不属于 x 的集合 x。这样一个集合 x 称为空属于 x 等价于 z 属于 y，则有 x 等于，有 z，满足对于任何属于 z 的 t 等价于 t 等于 x。4.并集公理 对于任何由集合作为元素组成的集合x，存在一个集合y，对于任何属于y的z等价于存在属于t的t。5.幂集公理 对于任意集合x，存在集合y，对于任意z，存在属于y的z等价于任意t，所以可以从t属于x推导出t属于z。像元素这样的 y 的所有子集称为 x 6 。无穷公理定义了对于任何 z 的二元命题，它认为 y 的 z 等于 x 的 z 或 z 等于 x。无穷公理表示如下：如果存在x，则成立属于x，对于任何成立，都可以推断出z属于x。从公理1，已知的存在，从公理6，已知的3，...，可以推断出整数集的存在。7. 映射公理成立，可以推导出y等于y，则对于任意集合u，存在集合v，对于任意属于v的y等价于存在属于u的x并且成立. ZFC 公理将选择公理添加到 ZF 公理。选择公理的内容肯定了以下结论：集合中的每个元素总是可能的。以下是对本节内容中出现的一些谓词和符号的描述： ：指标准、非标准或由它派生的一些词。可以推断出z属于x。从公理1，已知的存在，从公理6，已知的3，...，可以推断出整数集的存在。7. 映射公理成立，可以推导出y等于y，则对于任意集合u，存在集合v，对于任意属于v的y等价于存在属于u的x并且成立. ZFC 公理将选择公理添加到 ZF 公理。选择公理的内容肯定了以下结论：集合中的每个元素总是可能的。以下是对本节内容中出现的一些谓词和符号的描述： ：指标准、非标准或由它派生的一些词。可以推断出z属于x。从公理1，已知的存在，从公理6，已知的3，...，可以推断出整数集的存在。7. 映射公理成立，可以推导出y等于y，则对于任意集合u，存在集合v，对于任意属于v的y等价于存在属于u的x并且成立. ZFC 公理将选择公理添加到 ZF 公理。选择公理的内容肯定了以下结论：集合中的每个元素总是可能的。以下是对本节内容中出现的一些谓词和符号的描述： ：指标准、非标准或由它派生的一些词。映射公理成立，可以推导出y等于y，那么对于任意集合u，存在集合v，对于任意属于v的y，等价于存在属于u的x并且成立。ZFC 公理将选择公理添加到 ZF 公理。选择公理的内容肯定了以下结论：集合中的每个元素总是可能的。以下是对本节内容中出现的一些谓词和符号的描述： ：指标准、非标准或由它派生的一些词。映射公理成立，可以推导出y等于y，那么对于任意集合u，存在集合v，对于任意属于v的y，等价于存在属于u的x并且成立。ZFC 公理将选择公理添加到 ZF 公理。选择公理的内容肯定了以下结论：集合中的每个元素总是可能的。以下是对本节内容中出现的一些谓词和符号的描述： ：指标准、非标准或由它派生的一些词。集合中的每个元素总是可能的。以下是对本节内容中出现的一些谓词和符号的描述： ：指标准、非标准或由它派生的一些词。集合中的每个元素总是可能的。以下是对本节内容中出现的一些谓词和符号的描述： ：指标准、非标准或由它派生的一些词。

一个公式（或集合等）被称为内部的当且仅当它可以用传统语言表达（即没有新词）。指只能用生词表达的公式、集合等。（注：inner 和outer 本身就是新词）。指经典数学中定义的所有对象（如数、集合、函数、命题、公式等）。指非标准​​分析中经典数学中没有的对象。例如，小于实数 c 的所有实数的集合是一个内集。当c为标准数时，该集合为标准集合，否则为非标准集合。同样，当且仅当内部公式中的所有常数都是标准时，内部公式才是标准的，因此非标准公式至少包含一个非标准常数。文中将使用以下符号：st 表示元素 x 是标准的，那么命题公式变换原理（简称 T 原理）说的是，为变域中的所有标准元素建立的标准公式对变域中的所有变量都有效。也成立。下面结合实例讨论一些标准公式利用变换原理得出的结论。(1）定义是内部的，没有常数元素，所以是标准的。根据ZFC的第一公理（空集公理），命题为真，其中A为空集，由弱变换原理，命题也成立。从空集的唯一性，得出空集是标准集。（2）令标准公式stst也成立，即，一个标准函数是连续的（可微分的）当且仅当它在 标准元素是连续的（可微分的）。上界是stst也为真，即有上界的标准函数必须有标准上界。

对于它的标准定义域，st是成立的，所以st在任意点的函数值都是唯一的，所以任意标准函数在标准点的函数值都是标准的。该符号表示集合 x 是有限集。理想化原则表示如下：对于所有包含至少两个自由变量 x stfini st 的标准有限集 z ，元素 x 的存在性成立，这等价于 x 的存在性，它对所有标准元素 y 都成立。以下是从该原理推导出的一些重要定理： 自然数集必须包含无限大的正整数。证明：设理想化原理得：该对中任意一个标准成立，使得存在一个x，使得该对中所有标准整数y Bxy成立，即 自然数集合中至少一个整数中的所有标准正整数都很大，称这些为无限正整数。该定理表明存在无限正整数，如果有无限多个无限大的正整数。同时，该定理还指出，在实数集合中，至少存在一个大于0的实数，满足对于任意标准正整数n（足够大，如10000、100000或100000），有是正无穷小数，而正无穷小数有无穷多个。对于任意集合E，存在一个有限集F，使得F包含E中的所有标准元素。 证明：设stfini，即存在一个包含所有标准元素的有限集F非标准分析，从而包含E中的标准元素.

那么它在 E 中每一点的函数值都是正无穷小。证明：取任意一个标准实数标准函数。从正无穷小映射的定义：对于任何 x 都是正无穷小。3.2.2 映射是一个无穷小映射，但不一定是 上的正无穷小映射。证明：设置为无限小数）；让标准函数 on ，所以它不是一个无穷小的映射。对于建立的标准公式stst，集合x的所有元素都由所有标准元素组成。它的重要结论是： 在两个标准实数之间 对于任何介于两者之间的实数 x，都必须有一个标准实数符号，称为 x 的标准化；stst 本节讨论理想化原理在数学分析中的一些简单应用，

这个引理来源于归一化原理，这里不再证明。是无限小数。这个引理是从变换原理推导出来的，这里不作证明。（零点定理）所有标准函数都成立。根据定理3.2.2，令其内和之间的所有标准实数（N为无限正整数）的有限集，与F的定义相矛盾，另外，是的，由引用定理 4.1 必须只存在一个标准实数（最大值定理）所有闭区间上的所有标准函数 [ . 由定理 3.2.2，设内所有标准实数的有限集（N 为无限正整数）。取 F 因为 x 属于标准闭区间 [ ，所以由引理 4. 1 必须只有一个标准实数是无限小数并且是标准连续函数，并且根据引理 4.2 是无限小数。因此，对于任何标准实数，零测度都是通过变换原理得到的。证明：从变换原理，只需证明该定理对所有标准区间上的所有标准函数都是标准的[，因此只需证明为勒贝格测度即可。由定理 3.2.2 所有标准实数的有限集（N 是一个无限大的正整数差小数。设 I 是 E 中点下标 i 的所有组合的集合，对于每个i 是一个无限小数。令 max{ 是一个无限小数，因为它是有限数之一。它可以通过拉格朗日中值定理得到：

本文介绍的非标准分析严格从ZFC公理和IST公理出发，推导出许多重要结论，给我们启示：根据变换原理，对所有标准元素成立的命题公式对于所有元素；根据理想化原理，对于任何集合，都可以找到一个包含集合中所有标准元素的有限集合。因此，在讨论标准命题时，只需验证该命题在包含其变域中所有标准元素的有限集上成立，从而该命题在其变域中的每个元素上成立。鉴于这个想法非标准分析，如果一个命题公式在可变域中包含尽可能多的点，可以通过计算机或其他方法进行验证，可以假设命题在其可变域中的每一点都成立，并且命题成立。作为猜想，我们寻求它的理论证明方法，这为我们提出猜想提供了理论基础。例如：当计算机在制作某类函数的图时，如果发现它制作的每张图都具有某种共同的性质，我们可以猜测该函数类中的所有函数都具有这个性质，然后证明理论上。. 如果它发现它制作的每一个图都具有某种共同的性质，我们可以猜测函数类中的所有函数都具有这个性质，然后在理论上证明它。. 如果它发现它制作的每一个图都具有某种共同的性质，我们可以猜测函数类中的所有函数都具有这个性质，然后在理论上证明它。.